CARLOSBBLEITE: Exercício 19_TAAGEM

Curso Novas Tecnologias no Ensino da Matemática

Disciplina: Tópicos em Aritmética, Álgebra e Geometria para o Ensino Médio

Tutora: Alessandra Jaccoud Pinto

Aluno: Carlos Alberto Soares Leite

Pólo: Campo Grande – Grupo 1

Tarefa: Exercício nº 19 da lista 2

19) Considere a função logaritmo neperiano log : (0, ∞) → R que é uma função real bijetora definida no intervalo aberto (0, ∞). Conforme estudamos, para todo número real a ≥ 1 o valor de log (a) coincide com a medida da área da região plana situada sob o gráfico da função f (x) = 1/x, acima do eixo x e limitada pelas retas verticais x = 1 e x = a.

a) Prove que 37/60 < log 2 < 47/60.

Resolução:

Por sugestão, considerar a figura abaixo, onde o intervalo [1, 2] está dividido em três partes iguais e calcular a área por falta e por excesso.

Cálculo da área por falta (A_f):

A_f1 (área por falta do 1⁰. retângulo) = (4/3 – 1) (3/4) = 1/4

A_f2 (área por falta do 2⁰. retângulo) = (5/3 – 4/3) (3/5) = 1/5

A_f₃ (área por falta do 3⁰. retângulo) = (2 – 5/3) (1/2) = 1/6

A_f = A_f1 + A_f2 + A_f3 = 1/4 + 1/5 + 1/6

A_f = 37/60 (≈ 0,61667)

Cálculo da área por excesso (Ae):

A_e₁ (área por excesso do 1⁰. retângulo) = A_f1 + (4/3 – 1) (1 - 3/4) = 1/3

A_e2 (área por excesso do 2⁰. retângulo) = A_f₂ + (5/3 – 4/3) (3/4 - 3/5) = 1/4

A_e₃ (área por excesso do 3⁰. retângulo) = A_f₃ + (2 – 5/3) (3/5 - 1/2) = 1/5

A_e = A_e1 + A_e2 + A_e3 = 1/3 + 1/4 + 1/5

A_e = 47/60 (≈ 0,78333)

Como a área abaixo da hipérbole no intervalo [1, 2] coincide com o valor de log 2, pode-se deduzir que a área da hipérbole está entre a área por falta e a área por excesso. Logo, 37/60 < log 2 < 47/60.

b) Conclua que log 1 = 0 e que para dois números 1 ≤ a < b vale a < log b.

Resposta:

Por definição, para todo número real a ≥ 1 a área da função logaritmo neperiano log : (0, ∞) → R é representada por log (a) e está limitada, no eixo x, pelas seguintes condições: à esquerda por 1; acima pela função hiperbólica 1/x; à direita por a; e abaixo pelo intervalo [1, a].

Então, se a = 1, a região plana localizada sob o gráfico da curva f(x) = 1/x se reduzirá a uma linha vertical (que não possui área, ou seja, a área é nula).

Portanto, log 1 = área (1, 1). Assim: log 1 = 0.

Quando o valor de a aumenta, para b > a, a função e a área também aumentam os seus valores, em consequencia, o log b é maior.

Pode-se concluir que 1 ≤ a < b vale a < log b.

A figura abaixo mostra exemplos de construções, através do software GeoGebra, dos log 1 = 0 (área nula) e log 1,5 = área 0,40547 (b = 1,5 => a < log b).

c) O número e, denominado número de Neper, é tal que log e = 1. Com os resultados do item anterior, conclua que e > 2.

Resposta:

A integral [f,1,e] gera o valor c =1 que é a área da região plana sob o gráfico da função f(x) = 1/x.

Como o log 2 apresenta o valor a = 0,69315 para aquela área e log e = 1, é possível concluir que e > 2.

A figura abaixo mostra as construções gráficas das áreas da região plana situada sob o gráfico da função f (x) = 1/x e a função logaritmo natural (y = e^x). Considerando o número de Neper e = 2,71828.

Referência Bibliográfica

Sites acessados em 18 de outubro de 2009:

CARLOSBBLEITE

domingo, 18 de outubro de 2009

Exercício 19_TAAGEM_CarlosLeite.doc

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