Discussão do GRUPO 2 - O formalismo de David Hilbert
por [Aluno] Carlos Alberto Soares Leite - sábado, 8 novembro 2008, 11:05
Bom dia, a todos!
O formalismo está presente no pensamento matemático, por exemplo, a seguinte expressão (a + b = b + a) é genuinamente formal, pois se aplica a quaisquer números e não tem matéria determinada. A restrição dos sistemas matemáticos a meras construções formais permite evitar questões filosóficas complexas, como a natureza dos números e o significado do "verdadeiro" e "falso" em matemática. Por essa razão, muitos matemáticos adotam o formalismo como mero expediente prático, sem aderí-lo expressamente.
David Hilbert e Kurt Gödel prestaram importantes contribuições nos sistemas de formalização matemática. Hilbert se propôs demonstrar a coerência da aritmética para depois estendê-la aos âmbitos dos demais sistemas. Ele acreditou na criação de uma linguagem puramente sintática, a partir da qual se poderia falar a respeito da verdade ou falsidade dos enunciados. Seu trabalho está diretamente relacionado com os de Gödel e Alan Turing, quando busca um procedimento capaz de determinar uma afirmação matemática, por exemplo, "a soma de dois números ímpares é sempre um número par" deveria existir um modo que, após um número finito de passos, parasse e indicasse se aquela afirmação poderia ou não ser aprovada em determinado sistema. Tal linguagem chamada de sistema formal estimulou Turing a fazer descobertas sobre as capacidades das máquinas (bom lembrar que Jonh Von Neumann, a quem muitos atribui a construção do primeiro computador, era um aluno de Hilbert e um dos principais teóricos da escola formalista).
Hilbert, diferentemente dos logicistas, não tinha pretensões de reduzir a matemática à lógica, mas fundamentar ambas conjuntamente. Ele e os outros seguidores da escola formalista viam que o matemático podia estudar as propriedades dos objetos somente por meio de um sistema apropriado de símbolos, pois uma vez que se possuia um sistema de sinais adequados, não é mais necessário se preocupar com seus significados: os próprios símbolos possuem as propriedades estruturais que interessam.
Assim, como na geometria ou na álgebra, para simplificar e uniformizar determinadas questões, são introduzidos conceitos não reais (ponto do infinito, números ideais, etc) que são apenas convenções lingüisticas, também se justifica a introdução da matemática de conceitos e princípios sem conteúdo intuitivo. Desta forma as leis da lógica clássica permanecem válidas.
Fontes de consulta:
http://encfil.goldeye.info/formalismo.htm ;
http://br.geocities.com/hifi_eventos/sistemaformal-hilbert.htm
Últimos acessos, novembro de 2008.
Sds,
Carlos Leite.
por [Aluno] Carlos Alberto Soares Leite - sábado, 8 novembro 2008, 11:05
Bom dia, a todos!
O formalismo está presente no pensamento matemático, por exemplo, a seguinte expressão (a + b = b + a) é genuinamente formal, pois se aplica a quaisquer números e não tem matéria determinada. A restrição dos sistemas matemáticos a meras construções formais permite evitar questões filosóficas complexas, como a natureza dos números e o significado do "verdadeiro" e "falso" em matemática. Por essa razão, muitos matemáticos adotam o formalismo como mero expediente prático, sem aderí-lo expressamente.
David Hilbert e Kurt Gödel prestaram importantes contribuições nos sistemas de formalização matemática. Hilbert se propôs demonstrar a coerência da aritmética para depois estendê-la aos âmbitos dos demais sistemas. Ele acreditou na criação de uma linguagem puramente sintática, a partir da qual se poderia falar a respeito da verdade ou falsidade dos enunciados. Seu trabalho está diretamente relacionado com os de Gödel e Alan Turing, quando busca um procedimento capaz de determinar uma afirmação matemática, por exemplo, "a soma de dois números ímpares é sempre um número par" deveria existir um modo que, após um número finito de passos, parasse e indicasse se aquela afirmação poderia ou não ser aprovada em determinado sistema. Tal linguagem chamada de sistema formal estimulou Turing a fazer descobertas sobre as capacidades das máquinas (bom lembrar que Jonh Von Neumann, a quem muitos atribui a construção do primeiro computador, era um aluno de Hilbert e um dos principais teóricos da escola formalista).
Hilbert, diferentemente dos logicistas, não tinha pretensões de reduzir a matemática à lógica, mas fundamentar ambas conjuntamente. Ele e os outros seguidores da escola formalista viam que o matemático podia estudar as propriedades dos objetos somente por meio de um sistema apropriado de símbolos, pois uma vez que se possuia um sistema de sinais adequados, não é mais necessário se preocupar com seus significados: os próprios símbolos possuem as propriedades estruturais que interessam.
Assim, como na geometria ou na álgebra, para simplificar e uniformizar determinadas questões, são introduzidos conceitos não reais (ponto do infinito, números ideais, etc) que são apenas convenções lingüisticas, também se justifica a introdução da matemática de conceitos e princípios sem conteúdo intuitivo. Desta forma as leis da lógica clássica permanecem válidas.
Fontes de consulta:
http://encfil.goldeye.info/formalismo.htm ;
http://br.geocities.com/hifi_eventos/sistemaformal-hilbert.htm
Últimos acessos, novembro de 2008.
Sds,
Carlos Leite.
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